4.6-4.10 POLINOMIOS Y ECUACIONES

4.6 -Ecuaciones de segundo grado.

4.7-División sintética.

4.8-Cálculo aproximado de raíces.

4.9-Factorización de polinomios.

4.10-Raíces Múltiples.

                                ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

DIVISION SINTETICA . y teorema del residuo

 

CALCULO DE UNA RAIZ AISLADA  EN UN INTERVALO

                        FACTORES DE POLINOMIO RAICES MULTIPLES.

SEA F(x) un polinomio de grado n>0 con coeficientes complejos. Existen n números complejos , a1 .... , a3 no nesesasiamente diferentes dos a dos, y un complejo c tales que.

Además, esta factorización es única. Es decir, si

Entonces, c´ =  c y existe una permutación o de  {a,……,n} , de manera que a1´= a0 (i) para todo i

DEMOSTRACION .

Primero la existencia de la factorizaion total, por inducción sobre el grado n. Si n=1 se tiene

Supongase que todo polinomio de grado n se puede factorizar como se afirma en el teorema y considerese un polinomio f(x) de grado n+1. Por el teorema final del párrafo 5, f(x) tiene una raíz a,y

Por el colorario 1 del teorema del residuo. Por la hipótesis de inducción

De donde, tomando a n+1 =a,

Como se quería mostrar.

La unicidad también se demostrara por inducción. Sea n =1 y supóngase que

Entonces c´= c, ca1=cá´1 y, en consecuencia, a1´=a1. Supongase ahora que la unicidad es verdadera para polinomios de grado n y sea f(x) de grado n +1 tal que

Entonces x – a´ n+1|c(x-a1)… (x-an+1), de donde x-a´n+1|x-ai  para algún i, por el colorario 3 del teorema del residuo, de donde a´n+1 en i

Obervemos que  a´n+1 = a(n+1) y que

Y cancelando el ultimo factor [véase ejercicio 5] i) del párrafo 3],

Introducimos la notación au|(i) =ai*- por la hipótesis de inducción c´=c y existe una permutación x de  {a.---,n) tal que }

Definiendo x (n+1) =n +1 podemos considerar X como una permutación de  {1,…,n+1}. Sea 0=u|.x tenemos que

Lo que termina la demostración.

Se acaba de observar que a cada raíz a  de f(x) le corresponde un factor x-a en la factorización de f(x). pero este factor puede aparecr mas de una ves, esto da lugar a la nocion de multiplicidad de una raíz:

Definicion: sea f(x)= c(x-a1) … (x-an) un polinomio de grado n>. ósea que pertenece c. se dice que a es raíz de multiplicidad m de f(x) si hay precisamente m índices i para los cuales ai=A.

Se puede también definir la multiplicidad  como sigue:

Es indispensable  comprobar que las dos definiciones son equivalentes, lo que se deja al cuidado del lector.