4.11-4.18 POLINOMIOS Y ECUACIONES

4.11-Derivadas y multiplicidad.

4.12-Coeficientes y raíces.

4.13-Polinomios con Coeficientes reales.

4.1 -El algoritmo de Euclides.

4.15-Teorema de Stur.

4.-16-Fracciones racionales.

4.17-Descomposición de fracciones parciales.

4.18-Ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Derivadas y multiplicidad.

Definimos la derivada P (x) de F(x) como sigue:

Para n >= 1 definimos que la n+1-esima derivada, F^n(x), como la derivada de la n-ésima derivada. Con todo esto queda definida F^n(X) para todo n que pertenece a  N.

Demostracion. Si g(x) y h (x) tienen coeficientes reales la proposición es un caso particular de un teorema del calculo diferencial. Pero hay una demostración simple que no utiliza el cálculo y que además es valida para coeficientes  complejos. Esta es la que daremos. Usaremos la notación:

EntonceS:

La demostración se puede realizar por inducción.

Sea F(x) de grado n>0 y sea m un entero positivo. A es raíz de multiplicidad m de F(x) si  y solo se se cumplen condiciones  siguientes:

[Convenimos en que F^0(x)=F(x). En le caso m=1 la condición a) se recuce a F(a) = 0.]

Demostracion por inducción:

Afirmacion directa. Para m=1, f(x)= (x-a)g(x) y x-a|\ g(x).

Entonces f´(x)= (x-a)g´(x)+g(x) y f´(a) = g(a) es nulo a 0. Supondremos ahora que la afirmación es verdadera para m y la demostraremos para m+1. Tenemos que f(x)= (x-a)^m+1 g(x) y x-a |/ g(x). entonces 

 

 Y es claro que x-a no divide al segundo factor. Por lo tanto a es raiz de multiplicidad m de f´(x). por la hipótesis de inducción aplicada a p (x) tenemos

 Como además f (a) = 0 hemos comprobado que se cumplan a) y b).

(afirmación)  reciproa. Para m=1 las condiciones a) y b)nos dicen que f (a) = 0, de donde f (x)= (x-a) g (x), y que f´(a) desigual a  cero y esto ultimo implica que (x-a)^2 |/ f(x), porque en caso contrario se tendría:

Supongamos ahora que la afirmación es verdadera para m y la demostraremos que m+1. Partimos de que

Por la hipótesis de inducción aplicada a f´(x) concluimos que a es raiz de multiplicidad m de f´, asi que:

 Y es claro que x-a  no divide al segundo factor. Comparando esta expresión de f´(x) con la anterior vemos que s = m + 1 y 

Lo que permite la demostración.

COEFICIENTES Y RAICES.

El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:

f(x) = 0

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...

La determinación de las soluciones de la ecuación (28) puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).

Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:

• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:

entonces el denominador q divide al coeficientes a_n y el numerador p divide al término independiente a₀.

Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:

3x³ + 3x² - x - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:

y después multiplicamos por 3²:

y³ + 3y² -3y -9 = 0

con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir,

(que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.

La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.

POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES.

  

   EL ALGORITMO DE EUCLIDES

Para calcular el mcd de dos enteros a y b (ambos >0, suponemos a > b) se definen q_i y r_i recursivamente mediante las ecuaciones:)r₁ = r₂q₃ + r₃  (0<r₃2....r_k-3 = r_k-2q_k-1 + r_k-1  (0<r_k-1k-2)r_k-2 = r_k-1q_k  (r_k=0)

a = bq₁ + r₁  (0<r₁

b = r₁q₂ + r₂  (0<r₂1

Y de la proposición anterior, se sigue que:

mcd(a,b) = mcd(b,r₁) = mcd(r₁,r₂) = ... = mcd(r_k-2,r_k-1) = r_k-1

Además se puede demostrar que el número de pasos necesarios para calcular el mcd de dos números es menor que 5 veces el número de dígitos del menor de ellos.

A continuación, figura una posible implementación en pseudocódigo del algoritmo de Euclides:

 

Una propiedad del algoritmo de Euclides:

El algoritmo de Euclides también nos proporciona un método para calcular dos valores enteros x e y tales que mcd(a,b) = ax + by. Este método consiste en ir despejando el resto de la última división, el que nos da el valor mcd(a,b), hacia atrás hasta llegar a los valores a y b de partida.

EL TEOREMA DE STURM

 FRACCIONES RACIONALES

  Ecuaciones de tercer y cuarto grado.