martes, 14 de agosto de 2018

4.1-4.5 POLINOMIOS Y ECUACIONES

POLINOMIOS Y ECUACIONES.
4.1-Definiciones.
4.2-Los Polinomios como funciones.
4.3-Operaciones.
4.4-El algoritmo de la división.
4.5-Raíces depolinomios.



polinomios

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros  positivos. Pueden ser de una o de varias variables.

Polinomios de una indeterminada

Para {\displaystyle a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}} constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \mathbb{R} o \mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, entonces un polinomio P_{}^{} de grado n en la variable x es un objeto de la forma
{\displaystyle P(x)_{}^{}=} {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}
Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucecion matematica finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K. También puede considerarse una sucesión infinita {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} entendiendo que a partir de un cierto término {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } podemos considerar {\displaystyle a_{n}=0} para cada {\displaystyle n\geq n_{0}}.

Representado como:
P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatoris como:
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de diversas variables

Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:
(2){\displaystyle {\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}}
Estos polinomios son mónico, homogenoes  y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las m potencias de una resta (véase prodcutos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
{\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
{\displaystyle 5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots }
En detalle el último de ellos {\displaystyle 4xy_{}^{2}z} es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Grado de un polinomio

Artículo principal: grupo (grado polinomio)
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado, y se denota por {\displaystyle {\text{gr}}(p)}.
Ejemplos

P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x, polinomio de gradoo dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado 3.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado 4.
P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado 5.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como {\displaystyle \scriptstyle -\infty }.
En particular los números son polinomios de grado cero.

Polinomio cero

Es el 0, tiene grado -1. Actúa de elemento neutro aditivo: p(x) +0= p(x), para cualquier p(x).

Polinomio de grado cero

Es aquel que no lleva la indeterminada. Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.



Los polinomios como funciones



 
 SUMA Y PRODUCTO DE POLINOMIOS

Suma de polinomios

La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.
Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}
{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}
el polinomio suma R(x), será:
{\displaystyle R(x)=P(x)+Q(x)\,}
que es lo mismo que:
{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}
sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:
{\displaystyle R(x)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}
  • Ejemplo:
Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, como se ve en el ejemplo.









{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&3x^{6}&-2x^{5}&+8x^{4}&+8x^{3}&-3x^{2}&+7x&+1\\+&&+4x^{5}&+x^{4}&+9x^{3}&-12x^{2}&+6x&-5\\\hline &3x^{6}&+2x^{5}&+9x^{4}&+17x^{3}&-15x^{2}&+13x&-4\\\end{array}}} 
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS 

Multiplicación de un polinomio por un escalar

Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes que posee el polinomio se multiplica por el escalar k. Si el polinomio es:
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\,x^{i}}
Y lo multiplicamos por k:
{\displaystyle k\cdot P(x)=k\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i}\,x^{i}}
Dando lugar a:
{\displaystyle k\cdot P(x)=\sum _{i=0}^{n}k\cdot a_{i}\,x^{i}}
  • Ejemplo:
Partiendo del polinomio:
{\displaystyle P(x)=2\,x^{4}+5\,x^{3}-6\,x^{2}+7\,x+1}
Lo multiplicamos por 3,
{\displaystyle 3\cdot P(x)=3\cdot (2\,x^{4}+5\,x^{3}-6\,x^{2}+7\,x+1)}
Operando con los coeficientes:
{\displaystyle 3\cdot P(x)=(3\cdot 2)\,x^{4}+(3\cdot 5)\,x^{3}-(3\cdot 6)\,x^{2}+(3\cdot 7)\,x+(3\cdot 1)}
Y tenemos como resultado:
{\displaystyle 3\cdot P(x)=6\,x^{4}+15\,x^{3}-18\,x^{2}+21\,x+3}
esta operación también puede expresarse del siguiente modo:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&2x^{4}&+5x^{3}&-6x^{2}&+7x&+1\\\times &&&&&3\\\hline &6x^{4}&+15x^{3}&-18x^{2}&+21x&+3\end{array}}}
Que es la forma aritmética para hacer la operación.

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio y sumar a los grados del polinomio el del monomio; veamos: si el polinomio es:
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\,x^{i}}
y el monomio es:
{\displaystyle M(x)=b\,x^{j}}
el producto del polinomio por el monomio es:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}\,x^{i})\cdot b\,x^{j}}
Agrupando términos:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}\cdot b)\,(x^{i}\cdot x^{j})}
El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}\cdot b)\,x^{i+j}}
Que es el resultado del producto.
  • Ejemplo:
Partiendo del polinomio:
{\displaystyle P(x)=5\,x^{5}+7\,x^{4}-5\,x^{3}+3\,x^{2}-8\,x+4}
y del monomio:
{\displaystyle M(x)=3\,x^{2}}
La multiplicación es:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=(5\,x^{5}+7\,x^{4}-5\,x^{3}+3\,x^{2}-8\,x+4)\cdot 3\,x^{2}}
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=(5\cdot 3)\,x^{5}\cdot x^{2}+(7\cdot 3)\,x^{4}\cdot x^{2}+(-5\cdot 3)\,x^{3}\cdot x^{2}+(3\cdot 3)\,x^{2}\cdot x^{2}+(-8\cdot 3)\,x\cdot x^{2}+(4\cdot 3)\cdot x^{2}}
realizando las operaciones:
{\displaystyle P(x)\cdot M(x)=15\,x^{7}+21\,x^{6}-15\,x^{5}+9\,x^{4}-24\,x^{3}+12\,x^{2}}
esta misma operación, se puede representar de esta forma:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrrr}&5x^{5}&+7x^{4}&-5x^{3}&+3x^{2}&-8x&+4\\\times &&&&&&3x^{2}\\\hline &15x^{7}&+21x^{6}&-15x^{5}&+9x^{4}&-24x^{3}&+12x^{2}\end{array}}}
donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)

Multiplicación de dos polinomios

Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que será un polinomio de grado n + m, así si:
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}
{\displaystyle Q(x)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}}
entonces:
{\displaystyle P(x)\cdot Q(x)={\Big (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}{\Big )}\cdot {\Big (}\sum _{j=0}^{m}b_{j}x^{j}{\Big )}}
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
{\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}(a_{i}x^{i})\cdot (b_{j}x^{j})}
agrupando términos:
{\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i}x^{j}}
operando potencias de la misma base:
{\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j}}
El doble sumatorio anterior puede reordenarse en la siguiente forma:
{\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}
  • Ejemplo:
vamos a multiplicar los polinomios:
{\displaystyle P(x)=-2\,x^{3}+5\,x^{2}+6\,x-3}
{\displaystyle Q(x)=3\,x^{2}+x-4}
el producto de los polinomios P(x) * Q(x):
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&&-2x^{3}&+5x^{2}&+6x&-3\\&&\times &3x^{2}&+x&-4\\\hline \end{array}}}
lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(X), sumando después el resultado, así en primer lugar haremos la multiplicación:
{\displaystyle P(x)\cdot (-4)=(-2\,x^{3}+5\,x^{2}+6\,x-3)\cdot (-4)}
que resulta:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&&-2x^{3}&+5x^{2}&+6x&-3\\&&\times &3x^{2}&+x&-4\\\hline &&8x^{3}&-20x^{2}&-24x&+12\\\end{array}}}
ahora multiplicamos P(x) por el segundo monomio de Q(x), x:
{\displaystyle P(x)\cdot x=(-2\,x^{3}+5\,x^{2}+6\,x-3)\cdot x}
al realizar la operación se colocan los resultados alineados verticalmente según las potencias de x, del siguiente modo:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&&-2x^{3}&+5x^{2}&+6x&-3\\&&\times &3x^{2}&+x&-4\\\hline &&8x^{3}&-20x^{2}&-24x&+12\\&-2x^{4}&+5x^{3}&+6x^{2}&-3x&\\\end{array}}}
hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):
{\displaystyle P(x)\cdot 3\,x^{2}=(-2\,x^{3}+5\,x^{2}+6\,x-3)\cdot 3\,x^{2}}
lo que resulta:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&&-2x^{3}&+5x^{2}&+6x&-3\\&&\times &3x^{2}&+x&-4\\\hline &&8x^{3}&-20x^{2}&-24x&+12\\&-2x^{4}&+5x^{3}&+6x^{2}&-3x&\\-6x^{5}&+15x^{4}&+18x^{3}&-9x^{2}&&\\\end{array}}}
hechas ya las multiplicaciones de P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), hacemos la suma de los productos parciales, según las distintas potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}&&-2x^{3}&+5x^{2}&+6x&-3\\&&\times &3x^{2}&+x&-4\\\hline &&8x^{3}&-20x^{2}&-24x&+12\\&-2x^{4}&+5x^{3}&+6x^{2}&-3x&\\-6x^{5}&+15x^{4}&+18x^{3}&-9x^{2}&&\\\hline -6x^{5}&+13x^{4}&+31x^{3}&-23x^{2}&-27x&+12\end{array}}}
este polinomio de 5º grado es el producto de P(x) de 3º grado y Q(x) de 2º grado.

DIVISION DE POLINOMIO,

División de polinomios


La división de polinomios tiene las mismas partes que la division  aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:
{\displaystyle P(x)\,} {\displaystyle Q(x)\,} 
{\displaystyle R(x)\,} {\displaystyle C(x)\,} 
tal que:
{\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot C(x)+R(x)\,}
dividendo = divisor × cociente + resto
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
  • ejemplo:
veamos un ejemplo para:
{\displaystyle P(x)=3\,x^{4}-2\,x^{3}+4\,x^{2}+2\,x-3\;}
{\displaystyle Q(x)=x^{2}-2\,x-1\;}
que para la realización de la división representamos:
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{rrrrr}3x^{4}&-2x^{3}&+4x^{2}&+2x&-3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrr}x^{2}&-2x&-1\\\hline \end{array}}\end{array}}}

como resultado de la división finalizada:
{\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{array}{rrrrr}3x^{4}&-2x^{3}&+4x^{2}&+2x&-3\\-3x^{4}&+6x^{3}&+3x^{2}&&\\\hline 0&4x^{3}&+7x^{2}&+2x&-3\\&-4x^{3}&+8x^{2}&+4x&\\\hline &0&15x^{2}&+6x&-3\\&&-15x^{2}&+30x&+15\\\hline &&&+36x&+12\end{array}}&{\begin{array}{|rrr}x^{2}&-2x&-1\\\hline 3x^{2}&+4x&+15\\\,\\\,\\\,\\\,\\\,\end{array}}\end{array}}}
TEOREMA RESIDUO: El resto R de la división de un polinomio {\displaystyle P(x)} por un binomio de forma {\displaystyle (x+a)} es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por {\displaystyle -a}). Formalmente puede expresarse como:
{\displaystyle R=P(-a)\;}
Por ejemplo, si
{\displaystyle P(x)=3x^{4}-5x^{2}+3x-20\,}
y el binomio divisor es
{\displaystyle (x-2)\,}
entonces el resto será{\displaystyle P(2)\,}, y se obtiene el resto:
{\displaystyle P(2)=3\times 16-5\times 4+3\times 2-20=14\,}
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Divisiones sintéticas

Para obtener el cociente y residuo de una división de un polinomio entero en x entre un binomio de la forma x+a, sin efectuar directamente la operación completa, se emplea el método de DIVISIONES SINTETICAS, también conocido como regla de RUFFINI.
                                
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