ÍNDICE
3.6 El orden en R.
3.7 Cotas y fronteras.
3.8 Operaciones con reales.
3.9 Propiedades de las operaciones.
3.10 Estructura de campo ordenado.
3.11 Decimales periódicos y racionales.
3.12 Raíces de reales positivos.
3.13 Exponentes racionales.
3.14 Valor absoluto.
3.15 Aproximación.
ÍNDICE
3.6 El orden en R.
3.7 Cotas y fronteras.
3.8 Operaciones con reales.
3.9 Propiedades de las operaciones.
3.10 Estructura de campo ordenado.
3.11 Decimales periódicos y racionales.
3.12 Raíces de reales positivos.
3.13 Exponentes racionales.
3.14 Valor absoluto.
3.15 Aproximación.
(3.6) El orden en R.
Orden en R
Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N´umeros Reales Positivos, y denotado por R +, que satisface las siguientes propiedades:
1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM´IA. Para cada n´umero real a s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera: a ∈ R + a = 0 −a ∈ R +
2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA. Si a, b ∈ R + entonces a + b ∈ R +.
3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO. Si a, b ∈ R + entonces a · b ∈ R +.
Relaci´on de Orden en R
1. DEFINICION 1: el conjunto de los ´ N´umeros Reales Negativos se define como R − := {a ∈ R| − a ∈ R + }.
2. DEFINICION 2: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R +
. 3. DEFINICION 3: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a. 4.
La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que: a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R + ⇔ −a ∈ R + ⇔ a ∈ R − , o sea, R − = {a ∈ R : a < 0}. 3
5. La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que: a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R + ⇔ a ∈ R + , o sea R + = {a ∈ R : a > 0}.
6. De los anteriores notamos que: R = R + ∪ R − ∪ {0}.
7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan Desigualdades.
2.3. Teoremas de Orden
1. Para cada par de n´umeros reales; a y b, es verdadera una y s´olo una de las siguientes proposiciones:
a < b, a = b, ´o, a > b.
2. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ b < c ⇒ a < c.
3. ∀a, b, c ∈ R : a < b ⇒ a + c < b + c.
4. ∀a, b, c, d ∈ R : a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d.
5. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc.
6. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc.
7. ∀a, b, c, d ∈ R + : a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd.
8. ∀a ∈ R : a ̸= 0 ⇒ a 2 > 0.
9. ∀a ∈ R : a > 0 ⇒ 1 a > 0.
(3.7) Cotas y fronteras.
las nociones de cotas y fronteras ( superiores e inferiores) que se introducen en esta seccion son indispensables para el resto del capitulo.
Cada una de las definiciones siguientes contiene, en realidad, una pareja de definiciones. La primera, al ignorar lo que esta entre parentesis. La segunda al poner las palabras y formulas que estan entre parentesis en lugar de las que les preceden
i) a es cota superior (inferior) de S.
ii) si x es cualquier otra cota superior (inferior) de s, entonces x > a (x < a)
si a es frontera superiore (inferior) de S escribinmos
a = sup S ( a= inf S)
Esta notacion solo quedara plenamente justificada cuando demostremos la unicidad de las fronteras. De otro modo tendriamos un mismo simbolo para denotar objetos diferentes
cotas
cota superior
Definición:
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota superior del conjunto A , si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es menor o igual que k .
Con símbolos matemáticos:
k es cota superior de A⇔∃x,x∈A∧∀x⇒x≤k
Observaciones:
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado superiormente.
cota inferior
Definición:
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota inferior del conjunto A , si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es mayor o igual que k .
Con símbolos matemáticos:
k es cota inferior de A⇔∃x,x∈A∧∀x⇒x≥k
Observaciones:
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado inferiormente.
· Si el conjunto A se encuentra acotado tanto superior como inferiormente, decimos que el conjunto A se encuentra acotado.
Ejemplo:
El conjunto de los números naturales (N) está acotado inferiormente.
fronteras
sea C un conjunto del eje de abscisas decimos que A es frontera superior del conjunto C si satisface las dos condiciones siguientes:
a) A es cota superior de C
b) cualquier otro punto X que sea cota superior de C cumple la condición X>A.
OBSERVACIÓN:
Un conjunto no puede tener mas de una frontera superior. en efecto si A y B fueran dos
(3.6) El orden en R.
Orden en R
Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N´umeros Reales Positivos, y denotado por R +, que satisface las siguientes propiedades:
1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM´IA. Para cada n´umero real a s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera: a ∈ R + a = 0 −a ∈ R +
2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA. Si a, b ∈ R + entonces a + b ∈ R +.
3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO. Si a, b ∈ R + entonces a · b ∈ R +.
Relaci´on de Orden en R
1. DEFINICION 1: el conjunto de los ´ N´umeros Reales Negativos se define como R − := {a ∈ R| − a ∈ R + }.
2. DEFINICION 2: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R +
. 3. DEFINICION 3: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a. 4.
La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que: a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R + ⇔ −a ∈ R + ⇔ a ∈ R − , o sea, R − = {a ∈ R : a < 0}. 3
5. La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que: a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R + ⇔ a ∈ R + , o sea R + = {a ∈ R : a > 0}.
6. De los anteriores notamos que: R = R + ∪ R − ∪ {0}.
7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan Desigualdades.
2.3. Teoremas de Orden
1. Para cada par de n´umeros reales; a y b, es verdadera una y s´olo una de las siguientes proposiciones:
a < b, a = b, ´o, a > b.
2. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ b < c ⇒ a < c.
3. ∀a, b, c ∈ R : a < b ⇒ a + c < b + c.
4. ∀a, b, c, d ∈ R : a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d.
5. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc.
6. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc.
7. ∀a, b, c, d ∈ R + : a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd.
8. ∀a ∈ R : a ̸= 0 ⇒ a 2 > 0.
9. ∀a ∈ R : a > 0 ⇒ 1 a > 0.
(3.7) Cotas y fronteras.
las nociones de cotas y fronteras ( superiores e inferiores) que se introducen en esta seccion son indispensables para el resto del capitulo.
Cada una de las definiciones siguientes contiene, en realidad, una pareja de definiciones. La primera, al ignorar lo que esta entre parentesis. La segunda al poner las palabras y formulas que estan entre parentesis en lugar de las que les preceden
i) a es cota superior (inferior) de S.
ii) si x es cualquier otra cota superior (inferior) de s, entonces x > a (x < a)
si a es frontera superiore (inferior) de S escribinmos
a = sup S ( a= inf S)
Esta notacion solo quedara plenamente justificada cuando demostremos la unicidad de las fronteras. De otro modo tendriamos un mismo simbolo para denotar objetos diferentes
cotas
cota superior
Definición:
cota superior
Definición:
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota superior del conjunto A , si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es menor o igual que k .
Con símbolos matemáticos:
Observaciones:
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado superiormente.
cota inferior
Definición:
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota inferior del conjunto A , si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es mayor o igual que k .
Con símbolos matemáticos:
Observaciones:
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado inferiormente.
· Si el conjunto A se encuentra acotado tanto superior como inferiormente, decimos que el conjunto A se encuentra acotado.
Ejemplo:
El conjunto de los números naturales (N) está acotado inferiormente.
fronteras
sea C un conjunto del eje de abscisas decimos que A es frontera superior del conjunto C si satisface las dos condiciones siguientes:
a) A es cota superior de C
b) cualquier otro punto X que sea cota superior de C cumple la condición X>A.
OBSERVACIÓN:
Un conjunto no puede tener mas de una frontera superior. en efecto si A y B fueran dos
(3.8) Operaciones con reales.
Adición de Números Reales
En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.
a+b=b+a
al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:
a+(−b)=(−b)+a=−b+a
Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 7 y −11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:
7+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.
En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.
a+b=b+a
al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:
a+(−b)=(−b)+a=−b+a
Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 7 y −11. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:
7+(−11)=−11+7=−4
En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.
Sustracción de Números Reales
A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.
a−b≠b−a
Donde a+(−b) si es igual a (−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.
A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.
a−b≠b−a
Donde a+(−b) si es igual a (−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.
Multiplicación de números Reales
En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.
Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.
a×b=c
Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:
+⋅+=+
+⋅–=−
−⋅+=−
−⋅–=+
Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.
−a×−b=c
Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.
a×−b=−c
−a×b=−c
Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.
a×−b×−c=d
a×−b×c=−d
Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.
a×1=a
Si se multiplica por cero, el resultado será cero.
a×0=0
En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.
Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.
a×b=c
Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:
+⋅+=+
+⋅–=−
−⋅+=−
−⋅–=+
Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.
−a×−b=c
Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.
a×−b=−c
−a×b=−c
Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.
a×−b×−c=d
a×−b×c=−d
Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.
a×1=a
Si se multiplica por cero, el resultado será cero.
a×0=0
División de números Reales
En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.
a−b=−ab=−ab
Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.
En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.
a−b=−ab=−ab
Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.
Potenciación de números Reales
La potenciación tiene varias reglas como:
a0=1
a1=a
Multiplicación y división de potencias con la misma base.
am×an=am+n
am÷an=am−n
Potencia de potencia.
(am)n=am×n
Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.
an×bn=(a×b)n
an÷bn=(a÷b)n
Existen otras reglas como la de que no existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su respuesta sería indefinida. Las raíces cuadradas, cuartas, sextas, etcétera, están definidas dentro del conjunto de números complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.
Esto concluye nuestra discusión sobre operaciones con números reales.
La potenciación tiene varias reglas como:
a0=1
a1=a
Multiplicación y división de potencias con la misma base.
am×an=am+n
am÷an=am−n
Potencia de potencia.
(am)n=am×n
Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.
an×bn=(a×b)n
an÷bn=(a÷b)n
Existen otras reglas como la de que no existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su respuesta sería indefinida. Las raíces cuadradas, cuartas, sextas, etcétera, están definidas dentro del conjunto de números complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.
Esto concluye nuestra discusión sobre operaciones con números reales.
Ejercicios Con Números Reales
Representación De Los Números Reales
Para poder representar a un número real en la recta numérica real, se puede hacer con una aproximación tan exacta como sea humanamente posible con los decimales necesarios para este propósito. Se puede representar al número 17 en la recta numérica de esta forma:
Esta es una forma bastante exacta, porque el número 17 es un número entero positivo, y su valor absoluto no tiene decimales. Pero para realizar ejercicios de representación de números reales, también se puede hacer en el lado de los negativos, como en el siguiente ejemplo para representar −2:
Se puede representar también los números fraccionarios como se puede ver en el siguiente ejemplo “a =56” y “b=49”:
Por otro lado, se puede representar en la recta numérica como una fracción decimal, con mucha aproximación, en tanto se pueda realizar el cálculo de su posición proporcional en la recta numérica. También se puede representar las fracciones en función de los números enteros. Y también las raíces que entran en el subconjunto de números irracionales. De cada uno de estos tres casos, damos un ejemplo como ejercicio a continuación con los números −2,5, √7, y 92 o 4,5:
Para poder representar a un número real en la recta numérica real, se puede hacer con una aproximación tan exacta como sea humanamente posible con los decimales necesarios para este propósito. Se puede representar al número 17 en la recta numérica de esta forma:
Esta es una forma bastante exacta, porque el número 17 es un número entero positivo, y su valor absoluto no tiene decimales. Pero para realizar ejercicios de representación de números reales, también se puede hacer en el lado de los negativos, como en el siguiente ejemplo para representar −2:
Se puede representar también los números fraccionarios como se puede ver en el siguiente ejemplo “a =56” y “b=49”:
Por otro lado, se puede representar en la recta numérica como una fracción decimal, con mucha aproximación, en tanto se pueda realizar el cálculo de su posición proporcional en la recta numérica. También se puede representar las fracciones en función de los números enteros. Y también las raíces que entran en el subconjunto de números irracionales. De cada uno de estos tres casos, damos un ejemplo como ejercicio a continuación con los números −2,5, √7, y 92 o 4,5:
Suma y Resta De Números Reales
Al sumar o restar con números racionales dentro de los números reales, se opera del mismo modo que en una suma común y corriente. Sin embargo, es importante dejar un ejemplo de ejercicio de una suma de números irracionales dentro de los números reales:
2√12−3√75+√27=
2√22×3−3√3×52+√33=
4√3−15√3+3√3=
−8√3
La operación anterior se logra al descomponer cada una de las raíces para tener un denominador común que en este caso es √3, con lo cual se logra que la adición de cada uno de los sumandos se simplifique al tener una misma raíz con diferentes ordenadores. Siga leyendo nuestros ejercicios con números reales.
Al sumar o restar con números racionales dentro de los números reales, se opera del mismo modo que en una suma común y corriente. Sin embargo, es importante dejar un ejemplo de ejercicio de una suma de números irracionales dentro de los números reales:
2√12−3√75+√27=
2√22×3−3√3×52+√33=
4√3−15√3+3√3=
−8√3
La operación anterior se logra al descomponer cada una de las raíces para tener un denominador común que en este caso es √3, con lo cual se logra que la adición de cada uno de los sumandos se simplifique al tener una misma raíz con diferentes ordenadores. Siga leyendo nuestros ejercicios con números reales.
Multiplicación y División De Números Reales
Al realizar multiplicaciones y divisiones de números reales, se lo puede realizar de forma normal cuando se trata de números racionales, pero al operar con números irracionales, se debe operar de forma distinta para obtener un factor común que se asocie con las raíces o las fracciones que formen parte de la operación:
12−√3×12+√3=
122−(√3)2=
14−3=
1
Si se quiere operar con fracciones, se utilizan las respectivas reglas para la multiplicación y la división, por un lado, la multiplicación se logra al realizar el producto del denominador del primer factor con el del segundo y luego el producto del numerador del primero con el del segundo. Para la división, se invierte el denominador y el numerador de la segunda fracción y se multiplica con la anterior regla para obtener el resultado deseado:
410÷23−45×23+53−14÷35=
1220−815+53−512=
3660−3260+10060−2560=
36−32+100−2560=
7960
También se puede racionalizar un número irracional dentro de los números naturales para simplificar su expresión:
13√3=3√323√3×3√32=3√323√33=3√93
Al realizar multiplicaciones y divisiones de números reales, se lo puede realizar de forma normal cuando se trata de números racionales, pero al operar con números irracionales, se debe operar de forma distinta para obtener un factor común que se asocie con las raíces o las fracciones que formen parte de la operación:
12−√3×12+√3=
122−(√3)2=
14−3=
1
Si se quiere operar con fracciones, se utilizan las respectivas reglas para la multiplicación y la división, por un lado, la multiplicación se logra al realizar el producto del denominador del primer factor con el del segundo y luego el producto del numerador del primero con el del segundo. Para la división, se invierte el denominador y el numerador de la segunda fracción y se multiplica con la anterior regla para obtener el resultado deseado:
410÷23−45×23+53−14÷35=
1220−815+53−512=
3660−3260+10060−2560=
36−32+100−2560=
7960
También se puede racionalizar un número irracional dentro de los números naturales para simplificar su expresión:
13√3=3√323√3×3√32=3√323√33=3√93
Potencias de Números Reales
También se puede obtener las potencias de los números reales al operar de la siguiente forma, con el ejemplo 1632
1632=√163=√(24)3=√212=26=64
Del mismo modo se puede operar con potencias decimales, ya que se las puede convertir en fracciones de forma separada pero sencilla:
80,333…=839=813=3√8=3√23=2
También se puede obtener las potencias de los números reales al operar de la siguiente forma, con el ejemplo 1632
1632=√163=√(24)3=√212=26=64
Del mismo modo se puede operar con potencias decimales, ya que se las puede convertir en fracciones de forma separada pero sencilla:
80,333…=839=813=3√8=3√23=2
(3.9) Propiedades de las operaciones.
Propiedades de la suma
La suma
de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades:
• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:
a + b = b + a
Ejemplos:
• 3.25 + 1.04 = 4.29, y también 1.04 + 3.25 = 4.29
• 15.87 + (–2.35) = 13.52, y también –2.35 + 15.87 = 13.52
•2/5 1/2+ =4+5/10 9/10= , y también 1/2+2/5= 5+4/10=9/10
• Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que:
a + (b + c) = (a + b) + c
Ejemplos: • 0.021 + (0.014 + 0.033) = 0.021 + 0.047 = 0.068,
y también (0.021 + 0.014) + 0.033 = 0.035 + 0.033 = 0.068
• –186.3 + (–223.6 + 202.1) = –186.3 + (–21.5) = –207.8,
y también [–186.3 + (–223.6)] + 202.1 = –409.9 + 202.1 =–207.8
Como da igual en qué orden se efectúen las sumas, lo usual es prescindir de los paréntesis, y marcar sólo
a + b + c. En nuestros ejemplos, tenemos entonces
0.021 + 0.014 + 0.033, o bien –186.3 + (–223.6) + 202.1, o bien 3/4+1/2 + 2/3.
sumas mentales.
• Elemento inverso.
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0:
si a es un número real, entonces
a + (–a) = 0
Ejemplos:
• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque 87.36 + (–87.36) = 0
• El inverso aditivo de –4.13 es 4.13, porque –4.13 + 4.13 = 0
• El inverso aditivo de 7/16 es -7/16 - porque 7/16+ (-7/16 ) = 0
La resta
es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:
sumas mentales.
• Elemento inverso.
Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0:
si a es un número real, entonces
a + (–a) = 0
Ejemplos:
• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque 87.36 + (–87.36) = 0
• El inverso aditivo de –4.13 es 4.13, porque –4.13 + 4.13 = 0
• El inverso aditivo de 7/16 es -7/16 - porque 7/16+ (-7/16 ) = 0
La resta
es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto:
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 17.5
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: 11.2 – 28.7 = –17.5
• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
Por ejemplo: –28.1 – 11.2 = –39.3
• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5
• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo: 28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3
–28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 = 11.2 – 28.7 = –17.5
Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 utilizamos el hecho de que restar un número negativo (-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, –28.7 y 11.2, y por la conmutatividad de la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (–28.7) = 11.2 – 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo.
Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:
52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2
La multiplicación
De números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos:
• El producto de dos números de igual signo siempre es positivo;
• El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo. La multiplicación tiene las siguientes propiedades:
• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:
a x b = b x a
Ejemplos:
• 3.25 x 1.04 = 3.38, y también 1.04 x 3.25 = 3.38
• 15.87 x (–2.35) = –37.2945, y también –2.35 x 15.87 = –37.2945
2 /5 x 1/2 = 2 x 1/ 5 x 2 =2/10, y tambien 1/2 x 2/5 =1 x 2/2 x 5 =2 /10
• Asociatividad. Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que:
a x (b x c) = (a x b) x c
Ejemplos:
• 0.021 x (0.014 x 0.033) = 0.021 x 0.00462 = 0.000009702, y también (0.021 x 0.014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702
• –186.3 x (–223.6 x 202.1) = –186.3 x (–45189.56) = 8418815.028, y también [–186.3 x (–223.6)] x 202.1 = 41656.68 x 202.1 = 8418815.028
* 3/4 x (1/2 x 2/3) = 3/4 x (1/2 x 2/3) = 3/4 x 2/6 = 3x2/4x6 =6/24=1/4
y tambien (3/4 x 1/2) x 2/3 = (-3x1/4x2) x 2/3= 3/8 x 2/3 = 3x2/8x3= 6/24=1/4
Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir de los paréntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: 0.021 x 0.014 x 0.033, o bien –186.3 x (–223.6) x 202.1, o bien x x Cuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca a b c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: a·b·c. Es también común prescindir del signo x cuando se señalan productos con los números entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir (–5) x(–3), podemos escribir (–5)(–3), y en vez de escribir 3 x 4 podemos escribir 3(4).
Es decir, cuando no se señala ninguna operación entre dos números, se efectúa una multiplicación.
Otras propiedades de la multiplicación son:
• Elemento neutro. El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces:
a x 1 = a
Ejemplos:
• 8763.218 x 1 = 8763.218
• 1 x (–56.41) = –56.51
• 18/14 x 1 = 18/14
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 17.5
• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo: 11.2 – 28.7 = –17.5
• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
Por ejemplo: –28.1 – 11.2 = –39.3
• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo: 28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5
• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo: 28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3
–28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 = 11.2 – 28.7 = –17.5
Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 utilizamos el hecho de que restar un número negativo (-11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, –28.7 y 11.2, y por la conmutatividad de la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (–28.7) = 11.2 – 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo.
Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:
52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2
La multiplicación
De números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos:
• El producto de dos números de igual signo siempre es positivo;
• El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo. La multiplicación tiene las siguientes propiedades:
• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:
a x b = b x a
Ejemplos:
• 3.25 x 1.04 = 3.38, y también 1.04 x 3.25 = 3.38
• 15.87 x (–2.35) = –37.2945, y también –2.35 x 15.87 = –37.2945
2 /5 x 1/2 = 2 x 1/ 5 x 2 =2/10, y tambien 1/2 x 2/5 =1 x 2/2 x 5 =2 /10
• Asociatividad. Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que:
a x (b x c) = (a x b) x c
Ejemplos:
• 0.021 x (0.014 x 0.033) = 0.021 x 0.00462 = 0.000009702, y también (0.021 x 0.014) x 0.033 = 0.000294 x 0.033 = 0.000009702
• –186.3 x (–223.6 x 202.1) = –186.3 x (–45189.56) = 8418815.028, y también [–186.3 x (–223.6)] x 202.1 = 41656.68 x 202.1 = 8418815.028
* 3/4 x (1/2 x 2/3) = 3/4 x (1/2 x 2/3) = 3/4 x 2/6 = 3x2/4x6 =6/24=1/4
y tambien (3/4 x 1/2) x 2/3 = (-3x1/4x2) x 2/3= 3/8 x 2/3 = 3x2/8x3= 6/24=1/4
Como en el caso de las sumas, da igual en qué orden se efectúen las multiplicaciones, y por eso lo usual es prescindir de los paréntesis. En nuestros ejemplos, tenemos entonces: 0.021 x 0.014 x 0.033, o bien –186.3 x (–223.6) x 202.1, o bien x x Cuando se usan letras, se marca sólo a x b x c, o bien, para evitar que el signo x se confunda con la letra x, se marca a b c, o bien se usa un punto en vez de la cruz: a·b·c. Es también común prescindir del signo x cuando se señalan productos con los números entre paréntesis: por ejemplo, en vez de escribir (–5) x(–3), podemos escribir (–5)(–3), y en vez de escribir 3 x 4 podemos escribir 3(4).
Es decir, cuando no se señala ninguna operación entre dos números, se efectúa una multiplicación.
Otras propiedades de la multiplicación son:
• Elemento neutro. El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces:
a x 1 = a
Ejemplos:
• 8763.218 x 1 = 8763.218
• 1 x (–56.41) = –56.51
• 18/14 x 1 = 18/14
Elemento inverso. Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número real distinto de cero, entonces
Elemento inverso. Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número real distinto de cero, entonces
a x 1/a = 1
Recuerde que escribir 1/a es lo mismo que escribir 1 ÷ a.
Ejemplos:
• El inverso multiplicativo de 87.36 es 1/87.36, porque 87.36 x1/87.36 = 1
• El inverso multiplicativo de –4.13 es -1/4.13 , porque –4.13 x (- 1/4.13) = 1
• El inverso multiplicativo de 7/16 es16/7 porque 17/6 x 16/7= 1
• El inverso multiplicativo de 1/9 es 9, porque1-9 x 9 = 1
La división
es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo:
La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero.
Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 ÷ 5.41 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:
• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:
6.42 ÷ 3 = 2.14, y ese resultado es distinto de 3 ÷ 6.42 » 0.467
La división no es tampoco una operación asociativa
: (8 ÷ 4) ÷ 2 =4/2 =2/2 = 1, mientras que 8 ÷ (4 ÷ 2) =8/4/2 =8/2 = 4
Potencias y raíces
Las propiedades de las operaciones con exponentes serán vistas con mayor detalle en la siguiente lección, pero aquí adelantamos algunos hechos.
Elevar un número real a una potencia equivale a multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Así,
3 ^4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
–5^3 = (–5) x (–5) x (–5) = –125
La operación inversa es la raíz, que puede ser cuadrada, raíz tercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 81 es igual a 3 elevado a la cuarta potencia, la raíz cuarta de 81 es 3, y como –125 es igual a –5 elevado a la tercera potencia, la raíz tercera de –125 es –5:
raiz cuarta de 81 =3
raiz tercera de -125= -5
La raíz más utilizada es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número a es el número que elevado al cuadrado da a. Cuando se usa raíz cuadrada no se suele poner el 2 arriba del símbolo Ö. Por ejemplo,
raiz cuadrada de 441 = raiz cuadrada =21, porque 21^2=441
No todos los números reales tienen raíz cuadrada. Todos los números reales positivos y el cero tienen raíz cuadrada, pero no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Para calcular una raíz cuadrada existen procedimientos que son algo complicados. La mejor manera es utilizar una calculadora, o bien intentar encontrar, por aproximación, un número cuyo cuadrado se parezca lo suficiente al número original. Veamos esto con un ejemplo: intentemos encontrar la raíz cuadrada de 87
Es decir, buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé 87. Lo primero que podemos observar es que ese número está entre 9 y 10, porque 9 ^2 = 81 (le falta) y 10^2 = 100 (le sobra). Intentemos entonces con el número que está exactamente entre esos dos: 9.5. Vemos que
9.5^2 = 9.5 x 9.5 = 90.25
o sea que le sobra también. Intentemos ahora con números entre 9 y 9.5, digamos 9.2, 9.3 y 9.4 :
9.2^2 = 84.64, 9.3^2 = 86.49 y 9.4^2 = 88.36.
Vemos ahora que la raíz cuadrada de 87 es un número que está entre 9.3 y 9.4, porque al cuadrado de 9.3 le falta un poco para llegar a 87 y al cuadrado de 9.4 le sobra un poco. Entonces podemos repetir el procedimiento, buscando ahora el número que está exactamente entre esos dos: 9.35. Vemos que
9.35^2 = 87.4225
o sea que le sobra también. Entonces el número que buscamos está entre 9.3 y 9.35, y podemos buscar, por ejemplo:
9.32^2 = 86.8624 y 9.33^2 = 87.0489
Ahora sabemos que el número que buscamos está entre 9.32 y 9.33, más cerca del segundo que del primero. De hecho, la diferencia entre 9.33^2 y 87 es muy pequeña, y podemos quedarnos con esta aproximación:
2^87 » 9.33
o bien podemos seguir el proceso para encontrar una aproximación con más cifras decimales. Si usamos una calculadora, encontraremos una aproximación con bastantes cifras decimales:
^87 » 9.327379053
Combinaciones de varias operaciones
Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos dos propiedades.
• Prioridad de las operaciones. Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escritas, sino que se deben efectuar en este orden:
PRIMERO las operaciones con exponentes y raíces
SEGUNDO las multiplicaciones y las divisiones
TERCERO las sumas y las restas
La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, se efectúan primero las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas recién mencionadas, y después las que aparecen fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, unos dentro de otros, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesis internos y de ahí se procede de adentro hacia fuera.
Ejemplos:
• 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14
• (2 + 3) x 4 = 5 x 4 = 20
• 5.26 – 2.12 = 5.26 – 4.41 = 0.85
• (5.26 – 2.1)2 = 3.162 = 9.9856
• –5.36 – [2.04 x 1.172 ÷ (8.16 + 3.12)] = –5.36 – [2.04 x 1.172 ÷ 11.28] = -5.36 – [2.04 x 1.3689 ÷ 11.28] = –5.36 – [2.792556 ÷ 11.28] » -5.36 - 0.247567 = –5.607567
Observe que en el último ejemplo fuimos efectuando las operaciones paso a paso, pero que cada vez repetimos el resto de la expresión. Esto es con el fin de que la igualdad se conserve siempre.
Cabe anotar que cuando se usa una raya para denotar una división, ésta sirve también como los paréntesis: se deben efectuar primero por separado las operaciones en el numerador y en el denominador, y luego efectuar la división. Por ejemplo:
5+3^2/ 12x 0.1^2 = 5+9/ 12x0.01= 14/0.12= 116.6
Veamos ahora la segunda propiedad:
• Distributividad. La multiplicación distribuye a la suma y a la resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma (o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad de la multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
Ejemplos:
• 5.01 x (3.18 + 2.21) = 5.01 x 5.39 = 27.0039, y también (5.01 x 3.18) + (5.01 x 2.21) = 15.9318 + 11.0721 = 27.0039
• –1.1 x [–6.3 – (–2.4)] = –1.1 x [–6.3 + 2.4] = –1.1 x (–3.9) = 4.29, y también [–1.1 x (–6.3)] – [–1.1 x (–2.4)] = 6.93 – 2.64 = 4.29
La distributividad es una propiedad que utilizamos algunas veces para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, multiplicar por 90 puede ser engorroso, pero no lo es así multiplicar por 100 ni multiplicar por 10, y como 90 = 100 – 10, podemos transformar una multiplicación por 90 en una multiplicación por 100 menos una multiplicación por 10. Así, por ejemplo:
126.15 x 90 = 126.15 x (100 – 10) =
= 126.15 x 100 – 126.15 x 10 =
= 12615 – 1261.5 =
= 11353.5
Aplicación de las propiedades en la solución de ecuaciones (ejemplo)
Araceli compró un vestido que le costó $79.90 y le quedaron $20.10, ¿cuánto dinero traía Araceli? Una manera de expresar esta situación usando lenguaje algebraico es, en primer lugar, elegir una letra para representar el valor que nos interesa conocer, en este caso la cantidad de dinero que Araceli traía en la bolsa y la vamos a llamar z. Como Araceli traía z pesos, gastó $79.90 y le quedaron $20.10, podemos expresar esta transacción algebraicamente con la expresión:
z – 79.90 = 20.10
La igualdad que aparece arriba es una ecuación y la incógnita o valor que queremos encontrar es z. Como usted sabe, para despejar el valor de z en la ecuación "pasamos sumando" el 79.90 que se encuentra restando del lado izquierdo:
z = 20.10 + 79.90
Cuando despejamos la incógnita y "pasamos sumando", hemos puesto en juego muchas de las propiedades de las operaciones que hemos enunciado. A continuación repetiremos este proceso paso a paso y haremos del lado derecho de la página una reflexión acerca de las propiedades que estamos utilizando en cada momento.
Hemos encontrado así que Araceli tenía $100.00 antes de comprar el vestido.
Recuerde que escribir 1/a es lo mismo que escribir 1 ÷ a.
Ejemplos:
• El inverso multiplicativo de 87.36 es 1/87.36, porque 87.36 x1/87.36 = 1
• El inverso multiplicativo de –4.13 es -1/4.13 , porque –4.13 x (- 1/4.13) = 1
• El inverso multiplicativo de 7/16 es16/7 porque 17/6 x 16/7= 1
• El inverso multiplicativo de 1/9 es 9, porque1-9 x 9 = 1
La división
es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir; por ejemplo:
La excepción es que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero.
Observe que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero. Por ejemplo, 0 ÷ 5.41 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:
• el cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;
• el cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.
Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, la división no es una operación conmutativa:
6.42 ÷ 3 = 2.14, y ese resultado es distinto de 3 ÷ 6.42 » 0.467
La división no es tampoco una operación asociativa
: (8 ÷ 4) ÷ 2 =4/2 =2/2 = 1, mientras que 8 ÷ (4 ÷ 2) =8/4/2 =8/2 = 4
Potencias y raíces
Las propiedades de las operaciones con exponentes serán vistas con mayor detalle en la siguiente lección, pero aquí adelantamos algunos hechos.
Elevar un número real a una potencia equivale a multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Así,
3 ^4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
–5^3 = (–5) x (–5) x (–5) = –125
La operación inversa es la raíz, que puede ser cuadrada, raíz tercera, cuarta o quinta, etc. Por ejemplo, como 81 es igual a 3 elevado a la cuarta potencia, la raíz cuarta de 81 es 3, y como –125 es igual a –5 elevado a la tercera potencia, la raíz tercera de –125 es –5:
raiz cuarta de 81 =3
raiz tercera de -125= -5
La raíz más utilizada es la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número a es el número que elevado al cuadrado da a. Cuando se usa raíz cuadrada no se suele poner el 2 arriba del símbolo Ö. Por ejemplo,
raiz cuadrada de 441 = raiz cuadrada =21, porque 21^2=441
No todos los números reales tienen raíz cuadrada. Todos los números reales positivos y el cero tienen raíz cuadrada, pero no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Para calcular una raíz cuadrada existen procedimientos que son algo complicados. La mejor manera es utilizar una calculadora, o bien intentar encontrar, por aproximación, un número cuyo cuadrado se parezca lo suficiente al número original. Veamos esto con un ejemplo: intentemos encontrar la raíz cuadrada de 87
Es decir, buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé 87. Lo primero que podemos observar es que ese número está entre 9 y 10, porque 9 ^2 = 81 (le falta) y 10^2 = 100 (le sobra). Intentemos entonces con el número que está exactamente entre esos dos: 9.5. Vemos que
9.5^2 = 9.5 x 9.5 = 90.25
o sea que le sobra también. Intentemos ahora con números entre 9 y 9.5, digamos 9.2, 9.3 y 9.4 :
9.2^2 = 84.64, 9.3^2 = 86.49 y 9.4^2 = 88.36.
Vemos ahora que la raíz cuadrada de 87 es un número que está entre 9.3 y 9.4, porque al cuadrado de 9.3 le falta un poco para llegar a 87 y al cuadrado de 9.4 le sobra un poco. Entonces podemos repetir el procedimiento, buscando ahora el número que está exactamente entre esos dos: 9.35. Vemos que
9.35^2 = 87.4225
o sea que le sobra también. Entonces el número que buscamos está entre 9.3 y 9.35, y podemos buscar, por ejemplo:
9.32^2 = 86.8624 y 9.33^2 = 87.0489
Ahora sabemos que el número que buscamos está entre 9.32 y 9.33, más cerca del segundo que del primero. De hecho, la diferencia entre 9.33^2 y 87 es muy pequeña, y podemos quedarnos con esta aproximación:
2^87 » 9.33
o bien podemos seguir el proceso para encontrar una aproximación con más cifras decimales. Si usamos una calculadora, encontraremos una aproximación con bastantes cifras decimales:
^87 » 9.327379053
Combinaciones de varias operaciones
Es común que en una misma expresión aparezcan varias operaciones. Aquí mencionaremos dos propiedades.
• Prioridad de las operaciones. Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, no necesariamente se efectúan en el orden en el que están escritas, sino que se deben efectuar en este orden:
PRIMERO las operaciones con exponentes y raíces
SEGUNDO las multiplicaciones y las divisiones
TERCERO las sumas y las restas
La única manera de revertir este orden es utilizando paréntesis. Cuando aparecen paréntesis, se efectúan primero las operaciones dentro del paréntesis, siguiendo las reglas recién mencionadas, y después las que aparecen fuera del paréntesis. Si aparecen varios pares de paréntesis, unos dentro de otros, se efectúan primero las operaciones dentro de los paréntesis internos y de ahí se procede de adentro hacia fuera.
Ejemplos:
• 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14
• (2 + 3) x 4 = 5 x 4 = 20
• 5.26 – 2.12 = 5.26 – 4.41 = 0.85
• (5.26 – 2.1)2 = 3.162 = 9.9856
• –5.36 – [2.04 x 1.172 ÷ (8.16 + 3.12)] = –5.36 – [2.04 x 1.172 ÷ 11.28] = -5.36 – [2.04 x 1.3689 ÷ 11.28] = –5.36 – [2.792556 ÷ 11.28] » -5.36 - 0.247567 = –5.607567
Observe que en el último ejemplo fuimos efectuando las operaciones paso a paso, pero que cada vez repetimos el resto de la expresión. Esto es con el fin de que la igualdad se conserve siempre.
Cabe anotar que cuando se usa una raya para denotar una división, ésta sirve también como los paréntesis: se deben efectuar primero por separado las operaciones en el numerador y en el denominador, y luego efectuar la división. Por ejemplo:
5+3^2/ 12x 0.1^2 = 5+9/ 12x0.01= 14/0.12= 116.6
Veamos ahora la segunda propiedad:
• Distributividad. La multiplicación distribuye a la suma y a la resta. Esto quiere decir que si un número multiplica a una suma (o resta), el resultado es el mismo que si se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman ambos productos. Es decir, si a, b y c son tres números reales, la distributividad de la multiplicación con respecto de la suma y a la resta dice que:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b – c) = (a x b) – (a x c)
Ejemplos:
• 5.01 x (3.18 + 2.21) = 5.01 x 5.39 = 27.0039, y también (5.01 x 3.18) + (5.01 x 2.21) = 15.9318 + 11.0721 = 27.0039
• –1.1 x [–6.3 – (–2.4)] = –1.1 x [–6.3 + 2.4] = –1.1 x (–3.9) = 4.29, y también [–1.1 x (–6.3)] – [–1.1 x (–2.4)] = 6.93 – 2.64 = 4.29
La distributividad es una propiedad que utilizamos algunas veces para facilitar algunos cálculos. Por ejemplo, multiplicar por 90 puede ser engorroso, pero no lo es así multiplicar por 100 ni multiplicar por 10, y como 90 = 100 – 10, podemos transformar una multiplicación por 90 en una multiplicación por 100 menos una multiplicación por 10. Así, por ejemplo:
126.15 x 90 = 126.15 x (100 – 10) =
= 126.15 x 100 – 126.15 x 10 =
= 12615 – 1261.5 =
= 11353.5
Aplicación de las propiedades en la solución de ecuaciones (ejemplo)
Araceli compró un vestido que le costó $79.90 y le quedaron $20.10, ¿cuánto dinero traía Araceli? Una manera de expresar esta situación usando lenguaje algebraico es, en primer lugar, elegir una letra para representar el valor que nos interesa conocer, en este caso la cantidad de dinero que Araceli traía en la bolsa y la vamos a llamar z. Como Araceli traía z pesos, gastó $79.90 y le quedaron $20.10, podemos expresar esta transacción algebraicamente con la expresión:
z – 79.90 = 20.10
La igualdad que aparece arriba es una ecuación y la incógnita o valor que queremos encontrar es z. Como usted sabe, para despejar el valor de z en la ecuación "pasamos sumando" el 79.90 que se encuentra restando del lado izquierdo:
z = 20.10 + 79.90
Cuando despejamos la incógnita y "pasamos sumando", hemos puesto en juego muchas de las propiedades de las operaciones que hemos enunciado. A continuación repetiremos este proceso paso a paso y haremos del lado derecho de la página una reflexión acerca de las propiedades que estamos utilizando en cada momento.
Hemos encontrado así que Araceli tenía $100.00 antes de comprar el vestido.
Propiedades de Números Reales
Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como π tiene a -π .
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.
(3.10) Estructura de campo ordenado.
R: Estructura de Campo 1.1.
Axiomas de Campo El conjunto de los n´umeros reales R resulta ser la uni´on de los n´umeros racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n´umeros reales x, y se definen las operaciones binarias de suma: x+y, y multiplicaci´on: x · y. Dicho par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es, AXIOMA
1: PROPIEDAD CONMUTATIVA. x + y = y + x x · y = y · x
2: PROPIEDAD ASOCIATIVA. (x + y) + z = x + (y + z) (x · y) · z = x · (y · z)
3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x · (y + z) = x · y + x · z
4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. x + 0 = x x · 1 = x 1
5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO. x + (−x) = 0
6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO. x · x −1 = 1, x ̸= 0 1.2.
Teoremas de Campo Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales de la Aritm´etica con las que est´a familiarizado el lector por sus estudios de Algebra Elemental. Las m´as importantes de ellas se recogen a continuaci´on como teoremas.
En todos estos teoremas las letras: a, b, c, d, representan n´umeros reales cualesquiera.
Teorema 1. Ley de Simplificaci´on para la suma. a + b = a + c ⇔ b = c
Teorema 2. Posibilidad de la sustracci´on. Dados a y b existe uno y s´olo un x tal que a+x = b. Este x se designa por b−a. En particular, 0−a se escribe −a y se denomina el negativo de a.
Teorema 3. b − a = b + (−a).
Teorema 4. −(−a) = a.
Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c.
Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0.
Teorema 7. Ley de simplificaci´on para la multiplicaci´on. Si a · b = a · c y a ̸= 0, entonces b = c. Teorema 8. Posibilidad de la divisi´on. Dados a y b, con a ̸= 0, existe uno y s´olo x tal que a · x = b. El n´umero x se designa por b/a ´o b a , y se denomina cociente de b y a. En particular, 1/a se escribe tambi´en a −1 y se denomina rec´ıproco de a.
Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b/a = b · a −1 .
Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a −1 ) −1 = a. Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 ´o b = 0. Teorema 12. (−a) · b = −(a · b), (−a) · (−b) = a · b.
(3.11) Decimales periódicos y racionales
Un número decimal periódico es un número racional con parte fraccionariacaracterizado por tener un período de la conferencia del comido (cifras que se repiten de forma infinita) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como estas:
- =
- habiendo dos tipos de números periódicos como los siguientes
Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como π tiene a -π .
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.
(3.10) Estructura de campo ordenado.
R: Estructura de Campo 1.1.
Axiomas de Campo El conjunto de los n´umeros reales R resulta ser la uni´on de los n´umeros racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n´umeros reales x, y se definen las operaciones binarias de suma: x+y, y multiplicaci´on: x · y. Dicho par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es, AXIOMA
1: PROPIEDAD CONMUTATIVA. x + y = y + x x · y = y · x
2: PROPIEDAD ASOCIATIVA. (x + y) + z = x + (y + z) (x · y) · z = x · (y · z)
3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x · (y + z) = x · y + x · z
4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. x + 0 = x x · 1 = x 1
5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO. x + (−x) = 0
6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO. x · x −1 = 1, x ̸= 0 1.2.
Teoremas de Campo Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales de la Aritm´etica con las que est´a familiarizado el lector por sus estudios de Algebra Elemental. Las m´as importantes de ellas se recogen a continuaci´on como teoremas.
En todos estos teoremas las letras: a, b, c, d, representan n´umeros reales cualesquiera.
Teorema 1. Ley de Simplificaci´on para la suma. a + b = a + c ⇔ b = c
Teorema 2. Posibilidad de la sustracci´on. Dados a y b existe uno y s´olo un x tal que a+x = b. Este x se designa por b−a. En particular, 0−a se escribe −a y se denomina el negativo de a.
Teorema 3. b − a = b + (−a).
Teorema 4. −(−a) = a.
Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c.
Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0.
Teorema 7. Ley de simplificaci´on para la multiplicaci´on. Si a · b = a · c y a ̸= 0, entonces b = c. Teorema 8. Posibilidad de la divisi´on. Dados a y b, con a ̸= 0, existe uno y s´olo x tal que a · x = b. El n´umero x se designa por b/a ´o b a , y se denomina cociente de b y a. En particular, 1/a se escribe tambi´en a −1 y se denomina rec´ıproco de a.
Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b/a = b · a −1 .
Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a −1 ) −1 = a. Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 ´o b = 0. Teorema 12. (−a) · b = −(a · b), (−a) · (−b) = a · b.
(3.11) Decimales periódicos y racionales
Un número decimal periódico es un número racional con parte fraccionariacaracterizado por tener un período de la conferencia del comido (cifras que se repiten de forma infinita) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como estas:
- =
- habiendo dos tipos de números periódicos como los siguientes
- Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
- Ejemplo:
- Número periódico mixto (también llamado kawers): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten como digo el gran fisico-matematico kawer.
- Ejemplo: , en donde 91 es el anteperíodo.
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
-
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
Otro ejemplo:
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
- Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
- Ejemplo:
- Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0como cifras tiene la parte no periódica.
- Ejemplo:
- Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
- Ejemplo:
- Número periódico mixto (también llamado kawers): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten como digo el gran fisico-matematico kawer.
- Ejemplo: , en donde 91 es el anteperíodo.
Fracción CORRESPONDIENTE A UN NUMERO PERIÓDICO- Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
- Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
Otro ejemplo:
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
- Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
- Ejemplo:
- Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
- numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
- denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0como cifras tiene la parte no periódica.
- Ejemplo:
Tipo de número periódico resultante
-
Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo:
como:
será exacta; en efecto
Otro ejemplo:
como:
será exacta; en efecto:
- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo:
como:
será periódica pura; en efecto:
- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
como:
será periódica mixta, en efecto:
- Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo:
como:
será exacta; en efectoOtro ejemplo:como:será exacta; en efecto:- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo:como:será periódica pura; en efecto:- Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:como:será periódica mixta, en efecto:
(3.12-13) Raíces de reales positivos/ Exponentes racionales
https://www.youtube.com/watch?v=qtZAhhNf8ZM
https://www.youtube.com/watch?v=QDfbLDt9qPc
(3.14) Valor absoluto.
Propiedades fundamentales
-
No negatividad 
Definición positiva 
Propiedad multiplicativa 
Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva) 
-
No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
Propiedades adicionales
Simetría 
Identidad de indiscernibles 
Desigualdad triangular 
(equivalente a la propiedad aditiva) 
Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa) 
derivada (en el sentido de las distribuciones)
Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
En matemáticas, un espacio de Banach, llamado así en honor del matemático polaco, Stefan Banach, es uno de los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Un espacio de Banach es típicamente un espacio de funciones de dimensión infinita.|
Simetría Identidad de indiscernibles Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa) derivada (en el sentido de las distribuciones)
Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
En matemáticas, un espacio de Banach, llamado así en honor del matemático polaco, Stefan Banach, es uno de los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Un espacio de Banach es típicamente un espacio de funciones de dimensión infinita.|
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