1.1 Propiedades básicas de las operaciones en Z.
1.2 Propiedades de anillo de los enteros.
1.3 Dominios enteros
. 1.4 El orden en Z.
1.5 Unidades.
1.6 Inducción.
1.1 Propiedades básicas de las operaciones en Z.
1.2 Propiedades de anillo de los enteros.
1.3 Dominios enteros
. 1.4 El orden en Z.
1.5 Unidades.
1.6 Inducción.
(1.1) Propiedades basicas de las operaciones en Z.
(1.1) Propiedades basicas de las operaciones en Z.
Suma (adicion)
La adición es una operación básica de la aritmética de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos; por su naturalidad, que se representa con el signo "+".
En el algebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operacion formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un modulo que dota al módulo de estructura del grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoria de los grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.
propiedad comnutativa: El arreglo de los sumandos no modifica el resultado
propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo es
A + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Elemento neutro: El elemento identidad aditivo de los números es el cero, denotado por 0; porque todo número sumado con el 0 da el mismo número como total. Simbólicamente A+0=0+A=A = ejemplo 0+3=3
En matematicas, el opuesto (o simétrico para la suma, o inverso aditivo) de un número , es el número que, sumado con da cero. El inverso aditivo se denota.En nuestro lenguaje cotidiano opuesto equivaldría a contrario .
Multiplicación (producto)
En algebra moderna se suele usar la denominación «cociente» o «multiplicación» con su notación habitual «·» para designar la operación externa en un modulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo(aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. La operación inversa de la multiplicación es la division
Propiedad conmutativa
El orden de los factores no altera el producto. X*Y=Y*X
propiedad asociativa
Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.
X ( * y * z) = (x * y) * z
elemento identidad (neutro)
La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad. X*1=x
En los números reales el 0 no tiene inverso multiplicativo porque ningún número real multiplicado por 0 da como resultado 1. Excepto el 0, el inverso de un numero real también es real, el inverso de un numero racional es racional y el inverso de todo un complejo, tiene un inverso que es un número complejo.
La propiedad que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de cuerppo
Es decir:
-
Si tenemos y/x su inverso multiplicativo es x/y; o bien
-
Si tenemos x su inverso multiplicativo es 1/x
La division es la operación inversa de la multiplicación: si y es distinto de cero, entonces por definición x/y = x.y−1
( Todo número x , excepto cero, tiene una multiplicacion inversa
propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.
4 × (2 + 3) = 4 × 2 + 4 × 3
(1.2 PROPIEDADES DE ANILLO DE LOS ENTEROS. / 1.3 DOMINIOS ENTEROS)
Las ecuaciones de la forma A=B + X no siempre tienen solución en el conjunto N de los números naturales -no siempre pueden resolverse-. Con objeto de evitar esta limitación, se extiende el conjunto N a otro, en el que todas las ecuaciones de la forma anterior puedan resolverse, que contenga a N y que sea mínimo -en el sentido de la contención- con estas propiedades. Se obtiene así el conjunto Z de los números enteros, con un subconjunto isomorfo a los naturales, y que tiene una estructura que resultó fundamental para la Teoría de los números, básica para la Aritmética, y que sirvió de modelo para los anillos que se conocen como dominios enteros (el adjetivo “enteros” se debe precisamente al modelo).
Un dominio entero es un anillo donde el producto es conmutativo, donde 1 6= 0> y donde se pueden cancelar factores distintos de 0.
Un campo es un anillo con producto conmutativo en donde 1 6= 0 y en donde cada elemento distinto de 0> posee inverso multiplicativo. Los campos son dominios enteros.
(1.4) EL ORDEN EN Z
Es una consecuencia de la asociatividad de la suma de los naturales, que esta nueva suma también es asociativa. También debe ser claro que a + tiene neutro:
Los enteros positivos En Z
definimos el orden definiendo la clase P de los positivos
Donde < es el orden en N.
Observación . Notemos que es una consecuencia de la tricotomía en el orden de los naturales que para cada z E Z sucede una y sólo una de las siguientes proposiciones:
(1.5)UNIDADES
, El término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anillo R con identidad multiplicativa 1R, se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R con
-
u·v = v·u = 1R.
Donde la operación · es la operación multiplicaba del anillo R.
Elementos de esta naturaleza cumplen
El inverso multiplicativo es único
El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).
Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.
ejemplo
.En el anillo de enteros Z, las unidades son ±1.
En el anillo de enteros módulo n, z/nz, las unidades son las clases congruentes módulo n que soncoprimos a n. Estos constituyen el grupo multiplicativo de enteros módulo n.
Cualquier raíz de la unidad (esto es, solución de la ecuación xn=1) es un invertible en cualquier anillo con unidad R. (Si r es la raíz de la unidad, y rn = 1, entonces r−1 = rn − 1 es también un elemento de R.)
Si R es el anillo de enteros en un cuerpo numerico , el teorema de Dirichlet establece que el grupo de invertibles de R es un grupo abeliano finitamente generado. Por ejemplo, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 en el anillo de enteros de Q[√5], de hecho el grupo de invertibles es finito. En general, el grupo de invertibles de un campo real cuadrático es siempre finito.
(1.6) INDUCCIÓN
Principo de inducción
Al definir los numeros naturales pedimos la existencia de una funcion sucesor S : N----> N que satisfaciera ciertos axiomas. Entre ellos habia uno que decia textualemente:
Caracterizamos a dicho axioma como equivalente al Principio de INduccion completa (o principio de Induccion):
" si una propiedad P se aplica al cero (base inductiva) y si para todo n que posee la propiedad P su sucesor S(n) tambien la posee (paso inductivo) entonces esta propiedad la posenn todos loa naturales.
Ocacionalmente se hace nesesario trabajar con una version equivalente del principio de Induccion que se conoce con el nombre de PRINCIPIO DE INDUCCION PODIFICADO (PIM):
como anteriormente se menciono la mayoria de los autores prefieren inicia la induccion en 1.
Otra propiedad que satisfacen los numeros naturales es la de que cualquier subconjunto no vacio posee un primer elemento. dicha propiedad se recoge en el llamado PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN (PBO).
Si A es un subconjunto no vacio de los numeros naturales entonces
A tiene un alemento que es menor que todos los demas de A
Demostracion .
suele utilizarse de manera análoga a la forma en que se usó en las definiciones recursivas, para demostrar proposiciones de la forma: “todos los números naturales tienen cierta propiedad P”. Supongamos que S es una propiedad que cada número natural puede o no tener. (Ser primo, ser par, ...) y que deseamos comprobar que todos los números naturales la tienen. Simbolicemos con P(n) la expresión “n tiene la propiedad P”.
La adición es una operación básica de la aritmética de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos; por su naturalidad, que se representa con el signo "+".
En el algebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operacion formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un modulo que dota al módulo de estructura del grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoria de los grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores, etc.
propiedad comnutativa: El arreglo de los sumandos no modifica el resultado
propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o más números, el resultado siempre es el mismo independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo es
A + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Elemento neutro: El elemento identidad aditivo de los números es el cero, denotado por 0; porque todo número sumado con el 0 da el mismo número como total. Simbólicamente A+0=0+A=A = ejemplo 0+3=3
En matematicas, el opuesto (o simétrico para la suma, o inverso aditivo) de un número , es el número que, sumado con da cero. El inverso aditivo se denota.En nuestro lenguaje cotidiano opuesto equivaldría a contrario .
Multiplicación (producto)
En algebra moderna se suele usar la denominación «cociente» o «multiplicación» con su notación habitual «·» para designar la operación externa en un modulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo(aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. La operación inversa de la multiplicación es la division
Propiedad conmutativa
El orden de los factores no altera el producto. X*Y=Y*X
propiedad asociativa
Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.
X ( * y * z) = (x * y) * z
elemento identidad (neutro)
La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad. X*1=x
En los números reales el 0 no tiene inverso multiplicativo porque ningún número real multiplicado por 0 da como resultado 1. Excepto el 0, el inverso de un numero real también es real, el inverso de un numero racional es racional y el inverso de todo un complejo, tiene un inverso que es un número complejo.
La propiedad que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de cuerppo
Es decir:
- Si tenemos y/x su inverso multiplicativo es x/y; o bien
- Si tenemos x su inverso multiplicativo es 1/x
La division es la operación inversa de la multiplicación: si y es distinto de cero, entonces por definición x/y = x.y−1
( Todo número x , excepto cero, tiene una multiplicacion inversa
propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.
4 × (2 + 3) = 4 × 2 + 4 × 3
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(1.2 PROPIEDADES DE ANILLO DE LOS ENTEROS. / 1.3 DOMINIOS ENTEROS)
Las ecuaciones de la forma A=B + X no siempre tienen solución en el conjunto N de los números naturales -no siempre pueden resolverse-. Con objeto de evitar esta limitación, se extiende el conjunto N a otro, en el que todas las ecuaciones de la forma anterior puedan resolverse, que contenga a N y que sea mínimo -en el sentido de la contención- con estas propiedades. Se obtiene así el conjunto Z de los números enteros, con un subconjunto isomorfo a los naturales, y que tiene una estructura que resultó fundamental para la Teoría de los números, básica para la Aritmética, y que sirvió de modelo para los anillos que se conocen como dominios enteros (el adjetivo “enteros” se debe precisamente al modelo).
Un dominio entero es un anillo donde el producto es conmutativo, donde 1 6= 0> y donde se pueden cancelar factores distintos de 0.
Un campo es un anillo con producto conmutativo en donde 1 6= 0 y en donde cada elemento distinto de 0> posee inverso multiplicativo. Los campos son dominios enteros.
(1.4) EL ORDEN EN Z
Es una consecuencia de la asociatividad de la suma de los naturales, que esta nueva suma también es asociativa. También debe ser claro que a + tiene neutro:
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Los enteros positivos En Z
definimos el orden definiendo la clase P de los positivos
Donde < es el orden en N.
Observación . Notemos que es una consecuencia de la tricotomía en el orden de los naturales que para cada z E Z sucede una y sólo una de las siguientes proposiciones:
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(1.5)UNIDADES
, El término unidad, elemento invertible o simplemente invertible en un anillo R con identidad multiplicativa 1R, se refiere a un elemento u tal que existe un v, llamado el inverso multiplicativo en R con
- u·v = v·u = 1R.
Donde la operación · es la operación multiplicaba del anillo R.
Elementos de esta naturaleza cumplen
El inverso multiplicativo es único
El conjunto de todos los invertibles junto con la operación multiplicativa del anillo forman un grupo denotado por U(R).
Algo a tener en cuenta es que el término unidad debe diferenciarse de la 'unidad' en los anillos unitarios.
ejemplo
.En el anillo de enteros Z, las unidades son ±1.
En el anillo de enteros módulo n, z/nz, las unidades son las clases congruentes módulo n que soncoprimos a n. Estos constituyen el grupo multiplicativo de enteros módulo n.
Cualquier raíz de la unidad (esto es, solución de la ecuación xn=1) es un invertible en cualquier anillo con unidad R. (Si r es la raíz de la unidad, y rn = 1, entonces r−1 = rn − 1 es también un elemento de R.)
Si R es el anillo de enteros en un cuerpo numerico , el teorema de Dirichlet establece que el grupo de invertibles de R es un grupo abeliano finitamente generado. Por ejemplo, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 en el anillo de enteros de Q[√5], de hecho el grupo de invertibles es finito. En general, el grupo de invertibles de un campo real cuadrático es siempre finito.
(1.6) INDUCCIÓN
Principo de inducción
Al definir los numeros naturales pedimos la existencia de una funcion sucesor S : N----> N que satisfaciera ciertos axiomas. Entre ellos habia uno que decia textualemente:
Caracterizamos a dicho axioma como equivalente al Principio de INduccion completa (o principio de Induccion):
" si una propiedad P se aplica al cero (base inductiva) y si para todo n que posee la propiedad P su sucesor S(n) tambien la posee (paso inductivo) entonces esta propiedad la posenn todos loa naturales.
Ocacionalmente se hace nesesario trabajar con una version equivalente del principio de Induccion que se conoce con el nombre de PRINCIPIO DE INDUCCION PODIFICADO (PIM):
como anteriormente se menciono la mayoria de los autores prefieren inicia la induccion en 1.
Otra propiedad que satisfacen los numeros naturales es la de que cualquier subconjunto no vacio posee un primer elemento. dicha propiedad se recoge en el llamado PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN (PBO).
Si A es un subconjunto no vacio de los numeros naturales entonces
A tiene un alemento que es menor que todos los demas de A
Demostracion .
suele utilizarse de manera análoga a la forma en que se usó en las definiciones recursivas, para demostrar proposiciones de la forma: “todos los números naturales tienen cierta propiedad P”. Supongamos que S es una propiedad que cada número natural puede o no tener. (Ser primo, ser par, ...) y que deseamos comprobar que todos los números naturales la tienen. Simbolicemos con P(n) la expresión “n tiene la propiedad P”.
